Question

13．已知點(diǎn)A（1，0），B（0，1），C（2sin（θ-$\frac{π}{4}$），cos（$θ-\frac{π}{4}$）），且|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|．
（1）求tan（$θ-\frac{π}{4}$）的值；
（2）若θ-$\frac{π}{4}$∈（0，$\frac{π}{2}$），求cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩點(diǎn)間的距離公式求得tan（$θ-\frac{π}{4}$）的值．
（2）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin（θ-$\frac{π}{4}$）和cos（θ-$\frac{π}{4}$）的值，再利用兩角和差的余弦公式求得cosθ=cos[（θ-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=的值．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（1，0），B（0，1），C（2sin（θ-$\frac{π}{4}$），cos（$θ-\frac{π}{4}$）），且|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，
∴$\sqrt{{[2sin（θ-\frac{π}{4}）-1]}^{2}{+cos}^{2}（θ-\frac{π}{4}）}$=$\sqrt{{（2sin（θ-\frac{π}{4}）}^{2}+{[cos（θ-\frac{π}{4}）-1]}^{2}}$，
化簡(jiǎn)可得2sin（θ-$\frac{π}{4}$）=cos（θ-$\frac{π}{4}$），
∴tan（$θ-\frac{π}{4}$）=$\frac{sin（θ-\frac{π}{4}）}{cos（θ-\frac{π}{4}）}$=$\frac{1}{2}$．
（2）∵θ-$\frac{π}{4}$∈（0，$\frac{π}{2}$），由（1）的結(jié)果結(jié)合${sin}^{2}（θ-\frac{π}{4}）$+${cos}^{2}（θ-\frac{π}{4}）$=1，
求得sin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴cosθ=cos[（θ-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=cos（θ-$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-sin（θ-$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩點(diǎn)間的距離公式，兩角差的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．