Question

16．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=2，∠BAC=90°，M為BB₁的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)M到直線AC₁的距離；
（2）求點(diǎn)N到平面MA₁C₁的距離．

Answer 1

分析 （1）取AA₁的中點(diǎn)D，AC₁的中點(diǎn)E，連接ME，則ME是點(diǎn)M到直線AC₁的距離；
（2）利用等體積轉(zhuǎn)化求點(diǎn)N到平面MA₁C₁的距離．

解答 解：（1）在△MAC₁中，MA=$\sqrt{5}$，MC₁=$\sqrt{1+8}$=3，AC₁=2$\sqrt{2}$，
cos∠MAC₁=$\frac{5+8-9}{2\sqrt{5}•2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，sin∠MAC₁=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，
設(shè)點(diǎn)M到直線AC₁的距離為h，
則$\frac{1}{2}$h•2$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{5}$•2$\sqrt{2}$•$\frac{3}{\sqrt{10}}$，
解得h=3．
則點(diǎn)M到直線AC₁的距離為3；
（2）△MNC₁中，MN=$\sqrt{3}$，MC₁=$\sqrt{8+1}$=3，NC₁=$\sqrt{4+2}$=$\sqrt{6}$，
∴MN⊥NC₁，
∴${S}_{△MN{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{6}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵A₁到平面B₁C的距離為$\sqrt{2}$，
∴${V}_{{A}_{1}-MN{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$=1，
設(shè)點(diǎn)N到平面MA₁C₁的距離為h，則
∵${S}_{△M{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{1}{3}×\sqrt{5}h$=1，
∴h=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)線面距離的求法，幾何體的體積的求法，考查計(jì)算能力以及邏輯推理能力．