Question

下列四個(gè)命題中
①設(shè)A，B兩個(gè)定點(diǎn)，若|

PA

|-|

PB

|=3，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線．
②過(guò)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦A，B，O為原點(diǎn)，若

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓．
③方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率．
④雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1有相同的焦點(diǎn)，
其中真命題的序號(hào)為

 

（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用雙曲線的定義可判斷①的正誤；
不妨令定圓C的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別取OA、OB、AB的中點(diǎn)D、E、P，則四邊形ODEF為平行四邊形，易知即點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，易證點(diǎn)P的軌跡是圓，從而可判斷②的正誤；
方程2x²-5x+2=0的兩根分別為可分別

1

2

與2，從而可判斷③的正誤；
分別求得雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再判斷④正誤即可．

解答： 解：①設(shè)A，B兩個(gè)定點(diǎn)，若|

PA

|-|

PB

|=3，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，錯(cuò)誤，若|AB|=3，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為兩條射線，故①錯(cuò)誤；
②過(guò)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦A，B，O為原點(diǎn)，若

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓．
不妨令定圓C的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，

分別取OA、OB、AB的中點(diǎn)D、E、P，則四邊形ODEF為平行四邊形，

OF

=（

OD

+

OE

）=

1

2

（

OA

+

OB

），即點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，
因?yàn)辄c(diǎn)B在圓C上，以點(diǎn)A為中心，將點(diǎn)B縮小到原來(lái)的

1

2

，得到點(diǎn)P，所以點(diǎn)P的軌跡是圓，故②錯(cuò)誤；
③方程2x²-5x+2=0的兩根分別為可分別

1

2

與2，它們可以作為橢圓和雙曲線的離心率，故③正確；
④雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±

25+9

，0），即（±

34

，0）；橢圓

x2

35

+y²=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±

35-1

，1），即（±

34

，0）；
它們有相同的焦點(diǎn)，故④正確；
綜上所述，真命題的序號(hào)為③④，
故答案為：③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查圓錐曲線的定義性質(zhì)及其應(yīng)用，考查分析、運(yùn)算及作圖能力，屬于中檔題．