Question

2．已知函數(shù)f（x）=|x-2|．
（1）解不等式f（x）+f（x+1）≤2；
（2）若a＞0，求證：f（ax）-af（x）≤2f（a+1）．

Answer 1

分析 （1）分段討論解含絕對值的不等式；（2）利用絕對值不等式的性質(zhì)：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|證明結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，得f（x）+f（x+1）=|x-1|+|x-2|，
因此只須解不等式|x-1|+|x-2|≤2------------（2分）
當(dāng)x≤1時，原不式等價于-2x+3≤2，即$\frac{1}{2}≤x≤1$；
當(dāng)1＜x≤2時，原不式等價于1≤2，即1＜x≤2；
當(dāng)x＞2時，原不式等價于2x-3≤2，即$2＜x≤\frac{5}{2}$．
綜上，原不等式的解集為$\left\{{x|\frac{1}{2}≤x≤\frac{5}{2}}\right\}$．-------5 分
（2）由題f（ax）-af（x）=|ax-2|-a|x-2|．
當(dāng)a＞0時，f（ax）-af（x）=|ax-2|-a|x-2|=|ax-2|-|2a-ax|≤|ax-2+2a-ax|=2|（a+1）-2|=2f（a+1）．

點評 本題考查了絕對值不等式的解法，考查絕對值不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．