Question

已知函數f(x)=2sin(2x+

π

4

)．
（1）求函數y=f（x）的最小正周期及單調遞增區(qū)間；
（2）若f(x0-

π

8

)=-

6

5

，求f（x₀）的值．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計算題,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用正弦函數的周期公式與單調性即可求得函數y=f（x）的最小正周期及單調遞增區(qū)間；
（2）由f（x₀-

π

8

）=-

6

5

，可求得sin2x₀=-

3

5

，cos2x₀=±

4

5

，通過對cos2x₀取值的討論，利用兩角和的正弦即可求得f（x₀）的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2sin（2x+

π

4

），
∴函數y=f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
得-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ（k∈Z），
∴f（x）的單調增區(qū)間為[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]（k∈Z）；
（2）∵f（x₀-

π

8

）=2sin[2（x₀-

π

8

）+

π

4

]=2sin2x₀=-

6

5

，
∴sin2x₀=-

3

5

，
∴cos2x₀=±

4

5

，
當cos2x₀=

4

5

時，
f（x₀）=2sin（2x₀+

π

4

）
=2sin2x₀cos

π

4

+2cos2x₀sin

π

4

=-

6

5

×

2

2

+2×

4

5

×

2

2

=

2

5

；
當cos2x₀=-

4

5

時，
同理可得f（x₀）=-

7 2

5

．
∴f（x₀）=

2

5

或f（x₀）=-

7 2

5

．

點評：本題考查正弦函數的周期性與單調性，考查同角三角函數間的關系與兩角和的正弦，考查綜合運算與求解能力，屬于中檔題．