Question

10．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別是A₁B₁，BB₁的中點(diǎn)，求異面直線AM與BD所成角的大�。�

Answer 1

分析 根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出正方體的邊長(zhǎng)為1，然后可求出點(diǎn)A，M，B，D的坐標(biāo)，從而求得向量$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{BD}$的坐標(biāo)，根據(jù)向量夾角余弦的坐標(biāo)公式求出這兩向量的夾角，根據(jù)異面直線所成角的范圍，從而得出異面直線AM，BD所成角的大�。�

解答 解：如圖，以D₁為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以邊D₁A₁，D₁C₁，D₁D所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系；
設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，則得到以下幾點(diǎn)坐標(biāo)：
A（1，0，1），M（$1，\frac{1}{2}，0$），D（0，0，1），B（1，1，1）；
∴$\overrightarrow{AM}$=（$0，\frac{1}{2}，-1$），$\overrightarrow{DB}=（1，1，0）$；
∴$cos＜\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{DB}＞$=$\frac{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{DB}}{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{DB}|}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
∴AM與BD所成角為arccos$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 考查通過建立空間直角坐標(biāo)，運(yùn)用空間向量求異面直線所成角的方法，由點(diǎn)的坐標(biāo)求空間向量的坐標(biāo)，空間兩向量夾角余弦的坐標(biāo)公式．