Question

8．設(shè)f（x）=（ax+b）e^-2x，曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程為x+y-1=0．
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）+xlnx，證明：當(dāng)0＜x＜1時，2e^-2-e^-1＜g（x）＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由切線的方程可得f（0）=1，f′（0）=-1，解方程可得a=b=1；
（Ⅱ）g（x）=f（x）+xlnx=（x+1）e^-2x，由h（x）=xlnx，求得導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，可得最小值；再由f（x）的單調(diào)性可得f（x）的范圍，結(jié)合x趨向于0，可得g（x）＜1，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（ax+b）e^-2x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=（a-2b-2ax）e^-2x，
由在（0，f（0））處的切線方程為x+y-1=0，
可得f（0）=1，f′（0）=-1，即為b=1，a-2b=-1，
解得a=b=1；
（Ⅱ）證明：g（x）=f（x）+xlnx=（x+1）e^-2x，
由h（x）=xlnx的導(dǎo)數(shù)為y′=1+lnx，
當(dāng)x＞$\frac{1}{e}$時，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{e}$時，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）遞減．
即有x=$\frac{1}{e}$處取得最小值，且為-e^-1；
f（x）的導(dǎo)數(shù)為（-1-2x）e^-2x，
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
可得f（x）＞f（1）=2e^-2；
則g（x）＞2e^-2-e^-1；
由x→0時，g（x）→1，
則有g(shù)（x）＜1，
綜上可得，當(dāng)0＜x＜1時，2e^-2-e^-1＜g（x）＜1．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式的證明，注意運(yùn)用函數(shù)的最值的性質(zhì)和極限的思想，屬于中檔題．