Question

20．已知函數(shù)f（x）=ax²-4ax+b（a＞0）在區(qū)間[0，1]上有最大值1和最小值-2．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（x）≥mx在x∈（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的對稱軸方程，可得f（x）在[0，1]遞減，即可得到最值，解方程可得a，b的值；
（2）由題意可得$m≤x-4+\frac{1}{x}$在x∈（0，+∞）上恒成立，運用對號函數(shù)的單調性，可得右邊函數(shù)的最小值，即可得到m的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ax²-4ax+b（a＞0）=a（x-2）²+b-4a，
∵a＞0，開口向上，對稱軸x=2，
∴f（x）在[0，1]遞減，
∴f（0）=b=1，f（1）=b-3a=-2，
∴a=b=1；
（2）∵f（x）=x²-4x+1≥mx在x∈（0，+∞）上恒成立，
∴$m≤x-4+\frac{1}{x}$在x∈（0，+∞）上恒成立，
∵雙勾函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$在（0，1]遞減，在[1，+∞）遞增，
∴當x=1時，x-4+$\frac{1}{x}$取得最小值，且為2-4=-2，
則m≤-2．

點評 本題考查二次函數(shù)的最值的求法，注意討論對稱軸和區(qū)間的關系，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和對號函數(shù)的單調性，考查運算能力，屬于中檔題．