Question

19．給定函數(shù)f（x）=lg$\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$，完成下列問題：
（1）指出函數(shù)的奇偶性；（必須說明理由）
（2）指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（必須說明理由）
（3）該函數(shù)是否存在最值？如存在，求出該最值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的解析式求出定義域，再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，由函數(shù)奇偶性的定義可結(jié)論；
（2）設(shè)u（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=$x+\frac{1}{x}$（x＞0），求出函數(shù)u（x）的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)對數(shù)函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）利用基本不等式求出對數(shù)真數(shù)的范圍，再由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最值．

解答 解：（1）∵f（x）=lg$\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$定義域是{x|x≠0}，
且f（-x）=lg$\frac{{（-x）}^{2}+1}{|-x|}$=lg$\frac{{x}^{2}+1}{|x|}$=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lg\frac{{x}^{2}+1}{x}，x＞0}\\{lg\frac{{x}^{2}+1}{（-x）}，x＜0}\end{array}\right.$，
設(shè)u（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=$x+\frac{1}{x}$（x＞0），則函數(shù)u（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∵y=lgx在定義域上是增函數(shù)，
∴f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∵偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，
∴f（x）在（-1，0）上是增函數(shù)，在（-∞，-1）上是減函數(shù)，
綜上得，f（x）在（-∞，-1）、（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）、（-1、0）上是增函數(shù)，
（3）由（2）可得，當x＞0時，u（x）=$x+\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，當且僅當$x=\frac{1}{x}$時取等號，
∴$lg（x+\frac{1}{x}）$≥lg2，
當x＜0時，-（$x+\frac{1}{x}$）≥2，當且僅當$x=\frac{1}{x}$時取等號，
∴$lg（-x-\frac{1}{x}）≥$lg2，
∴函數(shù)f（x）存在最小值是lg2，沒有最大值．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，函數(shù)的最值，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷，屬于中檔題．