Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-alnx+b．（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線的方程為3x-y-3=0，求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）若x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）若-3≤a＜0，且對(duì)任意x₁，x₂∈（0，t]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4|$\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}$|，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用曲線y=f（x）在x=1處的切線的方程為3x-y-3=0，即可求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）若x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，f′（1）=1-a=0，即可求實(shí)數(shù)a的值；
（3））-3≤a＜0，f′（x）=x-$\frac{a}{x}$＞0，函數(shù)在（0，t]上單調(diào)遞增，不妨設(shè)0＜x₁≤x₂≤1，則|f（x₁）-f（x₂）|≤4|$\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}$|，可化為f（x₂）+$\frac{4}{{x}_{2}}$≤f（x₁）+$\frac{4}{{x}_{1}}$，設(shè)h（x）=f（x）+$\frac{4}{x}$=$\frac{1}{2}{x^2}$-alnx+b+$\frac{4}{x}$，則h（x）在（0，t]上是減函數(shù)，進(jìn)一步等價(jià)于x³-ax-4≤0在（0，t]上恒成立，即可求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-alnx+b，
∴f′（x）=x-$\frac{a}{x}$，
∵曲線y=f（x）在x=1處的切線的方程為3x-y-3=0，
∴1-a=3，f（1）=0
∴a=-2，$\frac{1}{2}$+b=0，
∴a=-2，b=-$\frac{1}{2}$；
（2）∵x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（1）=1-a=0，
∴a=1；
（3）-3≤a＜0，f′（x）=x-$\frac{a}{x}$＞0，函數(shù)在（0，t]上單調(diào)遞增
不妨設(shè)0＜x₁≤x₂≤1，則|f（x₁）-f（x₂）|≤4|$\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}$|，可化為f（x₂）+$\frac{4}{{x}_{2}}$≤f（x₁）+$\frac{4}{{x}_{1}}$
設(shè)h（x）=f（x）+$\frac{4}{x}$=$\frac{1}{2}{x^2}$-alnx+b+$\frac{4}{x}$，
則h（x）在（0，t]上是減函數(shù)．
又h′（x）=x-$\frac{a}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$，
∴等價(jià)于x³-ax-4≤0在（0，t]上恒成立
設(shè)g（x）=x³-ax-4，則g′（x）=3x²-a＞0，
∴t³-at-4≤0，
∵-3≤a＜0，
∴t³+3t-4≤0，
∵t＞0，∴t≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬難題．