Question

【題目】[選修4-4：坐標系與參數方程]:在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線，的直角坐標方程；

（2）判斷曲線，是否相交，若相交，請求出交點間的距離；若不相交，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）； （2）

【解析】

（1）由題意，消去參數，即可得到曲線的直角坐標方程，再利用極坐標與直角坐標的互化，即可得到曲線的直角坐標方程；

（2）由（1），將代入曲線，求得，，在由曲線，兩交點間的距離公式，即可求解。

（1）將，消去參數，得曲線的直角坐標方程為，

將展開整理，得，

因為，，

所以曲線的直角坐標方程為.

（2）由（1）知曲線是過定點的直線，因為點在曲線的內部，所以曲線與曲線相交.將代入并整理，得，

設曲線，的兩交點為，，則，，

故曲線，兩交點間的距離 .