Question

10．已知拋物線y²=4x上的任意一點(diǎn)P，記點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d，對(duì)于給定點(diǎn)A（4，5），則|PA|+d的最小值為$\sqrt{34}$-1．

Answer 1

分析 拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線l：x=-1，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥l交y軸于點(diǎn)M，垂足為N，則|PF|=|PN|，|PA|+d≥|AF|-1．即可得出．

解答 解：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線l：x=-1．
如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥l交y軸于點(diǎn)M，垂足為N，
則|PF|=|PN|，
∴d=|PF|-1，
∴|PA|+d≥|AF|-1=$\sqrt{（4-1）^{2}+{5}^{2}}$-1=$\sqrt{34}$-1．
當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值$\sqrt{34}$-1．
故答案為：$\sqrt{34}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．