Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中左焦點(diǎn)F（-2，0）．
（Ⅰ）求出橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=x+m與曲線C交于不同的A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)M在曲線x²+2y=2上，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先，根據(jù)橢圓的離心率和左焦點(diǎn)坐標(biāo)，可以確定a=2$\sqrt{2}$，b=2，從而確定其橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）首先，設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），然后，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，建立等式，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意得，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，c=2，解得：a=2$\sqrt{2}$，b=2，
所以橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．-----------------（6分）
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1\\ y=x+m\end{array}\right.$，消去y得3x²+4mx+2m²-8=0，-----------------（8分）
由△=96-8m²＞0，解得-2$\sqrt{3}$＜m＜2$\sqrt{3}$，
所以x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2m}{3}$，y₀=x₀+m=$\frac{m}{3}$，
因?yàn)辄c(diǎn)M（x₀，y₀）在曲線x²+2y=2上，
所以$（-\frac{2m}{3}）^{2}+2×\frac{m}{3}=2$，即$m=\frac{3}{2}或m=-3$-----------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．