Question

4．?dāng)?shù)f（x）=a|log₂x|+1（a≠0），定義函數(shù)F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{f（-x），x＜0}\end{array}\right.$，給出下列命題：①F（x）=|f（x）|；②函數(shù)F（x）是偶函數(shù)；③當(dāng)a＜0時(shí)，若0＜m＜n＜1，則有F（m）-F（n）＜0成立；④當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=F（x）-2有4個(gè)零點(diǎn)．其中正確命題的個(gè)數(shù)為3 個(gè)．

Answer 1

分析 ①F（x）=f（|x|），從而判斷；
②易知函數(shù)F（x）是偶函數(shù)；
③由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及絕對(duì)值可判斷F（m）-F（n）=-alog₂m+1-（-alog₂n+1）=a（log₂n-log₂m）＜0；
④由函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系可得|x|=${2}^{\frac{1}{a}}$或|x|=${2}^{-\frac{1}{a}}$；從而判斷出函數(shù)y=F（x）-2有4個(gè)零點(diǎn)．

解答 解：①F（x）=f（|x|），故F（x）=|f（x）|不正確；
②∵F（x）=f（|x|），∴F（-x）=F（x）；
∴函數(shù)F（x）是偶函數(shù)；
③當(dāng)a＜0時(shí)，若0＜m＜n＜1，
則F（m）-F（n）=-alog₂m+1-（-alog₂n+1）
=a（log₂n-log₂m）＜0；
④當(dāng)a＞0時(shí)，F(xiàn)（x）=2可化為f（|x|）=2，
即a|log₂|x||+1=2，
即|log₂|x||=$\frac{1}{a}$；
故|x|=${2}^{\frac{1}{a}}$或|x|=${2}^{-\frac{1}{a}}$；
故函數(shù)y=F（x）-2有4個(gè)零點(diǎn)；
②③④正確；
故答案為：3 個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值函數(shù)的應(yīng)用及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．