Question

12．已知函數(shù)f（x）=x²+2alnx．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在（2，f（2））處的切線斜率為2，求函數(shù)f（x）的圖象在（1，f（1））的切線方程；
（2）若函數(shù)g（x）=$\frac{2}{x}$+f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，由f'（2）=1，求出a，再求函數(shù)f（x）的圖象在（1，f（1））的切線方程；
（2）由已知函數(shù)g（x）為[1，2]上的單調(diào)減函數(shù)，則g′（x）≤0在[1，2]上恒成立，即-$\frac{2}{x^2}$+2x+$\frac{2a}{x}$≤0在[1，2]上恒成立，即a≤$\frac{1}{x}$-x²在[1，2]上恒成立，求出函數(shù)的最小值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）$f'（x）=2x+\frac{2a}{x}=\frac{{2{x^2}+2a}}{x}$，由已知f'（2）=2，解得a=-2．…（2分）
∴f（x）=x²-4lnx，$f'（x）=2x-\frac{4}{x}$，
∴f（1）=1，f'（1）=-2…（4分）
∴函數(shù)f（x）的圖象在（1，f（1））的切線方程為y-1=-2（x-1）即2x+y-3=0．…（6分）
（2）由g（x）=$\frac{2}{x}$+x²+2aln x，得g′（x）=-$\frac{2}{x^2}$+2x+$\frac{2a}{x}$，…（7分）
由已知函數(shù)g（x）為[1，2]上的單調(diào)減函數(shù)，則g′（x）≤0在[1，2]上恒成立，
即-$\frac{2}{x^2}$+2x+$\frac{2a}{x}$≤0在[1，2]上恒成立．即a≤$\frac{1}{x}$-x²在[1，2]上恒成立．…（8分）
令h（x）=$\frac{1}{x}$-x²，在[1，2]上h′（x）=-$\frac{1}{x^2}$-2x=-（$\frac{1}{x^2}$+2x）＜0，
∴h（x）在[1，2]上為減函數(shù)，h（x）_min=h（2）=-$\frac{7}{2}$，∴a≤-$\frac{7}{2}$．…（11分）
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≤-$\frac{7}{2}$}．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵．