Question

13．已知多面體ABCDEF如圖所示，其中ABCD為矩形，△DAE為等腰直角三角形，DA⊥AE，四邊形AEFB為梯形，且AE∥BF，∠ABF=90°，AB=BF=2AE=2．
（1）若G為線段DF的中點(diǎn)，求證；EG∥平面ABCD；
（2）線段DF上是否存在一點(diǎn)N，使得直線BN與平面FCD所成角的正弦值等于$\frac{2}{5}$？若存在，請指出點(diǎn)N的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由ABCD為矩形，得DA⊥AB，又DA⊥AE，可得DA⊥平面ABFE，結(jié)合∠ABF=90°，得BF⊥平面ABCD，從而得到直線BA，BF，BC兩兩垂直，以B為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則$\overrightarrow{BF}$為平面ABCD的法向量，求出$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{EG}$的坐標(biāo)，通過計(jì)算$\overrightarrow{EG}•\overrightarrow{BF}$=0得出$\overrightarrow{EG}⊥\overrightarrow{BF}$，從而有EG∥平面ABCD；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)N符合條件，設(shè)$\overrightarrow{FN}=λ\overrightarrow{FD}$，求出$\overrightarrow{BN}$和平面FCD的法向量$\overrightarrow{n}$的坐標(biāo)，令|cos＜$\overrightarrow{BN}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{2}{5}$解出λ，根據(jù)λ的值得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵ABCD為矩形，∴DA⊥AB，又DA⊥AE，
∴DA⊥平面ABFE，則平面ABCD⊥平面ABFE，
∵∠ABF=90°，∴BF⊥平面ABCD，
∴直線BA，BF，BC兩兩垂直，
以B為原點(diǎn)，分別以BA，BF，BC為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則F（0，2，0），B（0，0，0），D（2，0，1），E（2，1，0），C（0，0，1），∴G（1，1，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{EG}$=（-1，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{BF}$=（0，2，0）．
∵BF⊥平面ABCD，
∴$\overrightarrow{BF}$為平面ABCD的一個(gè)法向量，
∵$\overrightarrow{EG}$•$\overrightarrow{BF}$=-1×0+0×2+$\frac{1}{2}$×0=0，
∴$\overrightarrow{EG}⊥\overrightarrow{BF}$，又EG?平面ABCD，
∴EG∥平面ABCD；
（2）解：當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí)，直線BN與平面FCD所成角的正弦值為$\frac{2}{5}$．
事實(shí)上：
∵$\overrightarrow{FD}$=（2，-2，1），$\overrightarrow{CD}$=（2，0，0），
設(shè)平面FCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FD}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x=0}\\{2x-2y+z=0}\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，2）．
假設(shè)線段PD上存在一點(diǎn)N，使得直線BN與平面PCD所成角α的正弦值等于$\frac{2}{5}$，
設(shè)$\overrightarrow{FN}=λ\overrightarrow{FD}$=（2λ，-2λ，λ）（0≤λ≤1），
∴$\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FN}$=（2λ，2-2λ，λ）．
∴cos＜$\overrightarrow{BN}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BN}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{9{λ}^{2}-8λ+4}}=\frac{2}{5}$，
∴9λ²-8λ-1=0，解得λ=1或λ=-$\frac{1}{9}$（舍去）．
∴當(dāng)N點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查考查直線與平面的平行、線面所成角、探索性問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，訓(xùn)練了利用向量法求解空間幾何問題，屬中檔題．