Question

12．在公差不為0的等差數(shù)列{a_n}中，a₂，a₄，a₈成公比為a₂的等比數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{{a}_{n}}，n=2k，k∈{N}^{+}}\\{2{a}_{n}，n=2k-1，k∈{N}^{+}}\end{array}\right.$．
①求數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n；
②令c_2n-1=$\frac{_{2n}}{_{2n-1}}$（n∈N⁺），求使得c_2n-1＞10成立的所有n的值．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，通過$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+3d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+7d）}\\{{a}_{1}+3d=（{a}_{1}+d）^{2}}\end{array}\right.$，計算即可；
（II）通過（I）知b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}，n=2k，k∈{N}^{*}}\\{2n，n=2k-1，n∈{N}^{*}}\end{array}\right.$，①分n為偶數(shù)、n為奇數(shù)討論即可；②c_2n-1=$\frac{{2}^{2n-1}}{2n-1}$，令t=2n-1，則c_2n-1＞10轉(zhuǎn)化為${c}_{t}=\frac{{2}^{t}}{t}＞10$，討論數(shù)列{c_t}的單調(diào)性即可．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由題可知$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{4}}^{2}={a}_{2}•{a}_{8}}\\{{a}_{4}={a}_{2}•{a}_{2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+3d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+7d）}\\{{a}_{1}+3d=（{a}_{1}+d）^{2}}\end{array}\right.$，
解得a₁=d=1，
∴a_n=n （n∈N^*）；
（II）由（I）知b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}，n=2k，k∈{N}^{*}}\\{2n，n=2k-1，n∈{N}^{*}}\end{array}\right.$，
①當(dāng)n為偶數(shù)，即n=2k時，奇數(shù)項和偶數(shù)項各$\frac{n}{2}$項，
∴T_n=[2+6+…+2（n-1）]+（2²+2⁴+2⁶+…+2ⁿ）
=$\frac{\frac{n}{2}（2+2n-2）}{2}$+$\frac{{2}^{2}[1-（{2}^{2}）^{\frac{n}{2}}]}{1-{2}^{2}}$
=$\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{{2}^{n+2}}{3}-\frac{4}{3}$；
當(dāng)n為奇數(shù)，即n=2k-1時，n+1為偶數(shù)，
∴T_n=T_n+1-a_n+1
=$\frac{（n+1）^{2}}{2}+\frac{{2}^{n+3}-4}{3}-{2}^{n+1}$
=$\frac{（n+1）^{2}}{2}+\frac{{2}^{n+1}}{3}-\frac{4}{3}$，
綜上所述，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{{2}^{n+2}}{3}-\frac{4}{3}，}&{n=2k，n∈{N}^{*}}\\{\frac{（n+1）^{2}}{2}+\frac{{2}^{n+1}}{3}-\frac{4}{3}，}&{n=2k-1，n∈{N}^{*}}\end{array}\right.$；
②c_2n-1=$\frac{_{2n}}{_{2n-1}}$=$\frac{{2}^{2n}}{2（2n-1）}$=$\frac{{2}^{2n-1}}{2n-1}$，
令t=2n-1，則c_2n-1＞10轉(zhuǎn)化為${c}_{t}=\frac{{2}^{t}}{t}＞10$，
∵$\frac{{c}_{t+1}}{{c}_{t}}$=$\frac{{2}^{t+1}}{t+1}•\frac{t}{{2}^{t}}$=$\frac{2t}{t+1}$≥1，
當(dāng)且僅當(dāng)t=1時取等號，
∴c_t+1＞c_t＞c_t-1＞…＞c₂=c₁，
∵c₅=$\frac{{2}^{5}}{5}＜10$，${c}_{6}=\frac{{2}^{6}}{6}＞10$，
∴2n-1≥6，解得n$≥\frac{7}{2}$，
∴當(dāng)n≥4，n∈N^*時，c_2n-1＞10．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式，前n項和公式，考查分類討論的思想，考查換元法，考查數(shù)列的單調(diào)性，注意解題方法的積累，屬于難題．