Question

7．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是等差數(shù)列，已知a₁=1，$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+$\frac{{S}_{4}}{4}$=12．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若對任意的n∈N^*，a_n+1+$\frac{16}{{a}_{n}}$≥λ恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡可知{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以1為首項，$\frac{3}{2}$為公差的等差數(shù)列，從而求得S_n=$\frac{1}{2}$n（3n-1），從而求{a_n}的通項公式；
（2）由（1）知a_n+1+$\frac{16}{{a}_{n}}$=3n+1+$\frac{16}{3n-2}$=3n-2+$\frac{16}{3n-2}$+3，從而利用基本不等式求最值，化恒成立問題為最值問題即可．

解答 解：（1）∵{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是等差數(shù)列，且$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+$\frac{{S}_{4}}{4}$=12，
∴3$\frac{{S}_{3}}{3}$=12，
∴$\frac{{S}_{3}}{3}$=4，
又∵$\frac{{S}_{1}}{1}$=1，
∴{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以1為首項，$\frac{3}{2}$為公差的等差數(shù)列，
故$\frac{{S}_{n}}{n}$=1+$\frac{3}{2}$（n-1）=$\frac{3n-1}{2}$，
故S_n=$\frac{1}{2}$n（3n-1），
故數(shù)列{a_n}是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，
故a_n=1+3（n-1）=3n-2；
（2）由（1）知，
a_n+1+$\frac{16}{{a}_{n}}$=3n+1+$\frac{16}{3n-2}$=3n-2+$\frac{16}{3n-2}$+3
≥2$\sqrt{16}$+3=11，
（當且僅當3n-2=$\frac{16}{3n-2}$，即n=2時，等號成立）；
故若對任意的n∈N^*，a_n+1+$\frac{16}{{a}_{n}}$≥λ恒成立，
則11≥λ，
即λ≤11．

點評 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了基本不等式的應(yīng)用及恒成立問題．