Question

4．根據(jù)下列條件，求橢圓的標準方程．
（1）兩個焦點的坐標分別是（-3，0），（3，0），橢圓上任一點P到兩焦點的距離之和等于10；
（2）兩個焦點的坐標分別是（0，-2），（0，2），并且橢圓過點$（-\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$．

Answer 1

分析 （1）由題意可設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，且c=3，再由橢圓定義求得a，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）由題意可設橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，且c=2，利用橢圓定義及兩點間的距離公式求得a，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求．

解答 解：（1）由題意可設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，且知c=3，2a=10，a=5，
∴b²=a²-c²=16，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$；
（2）由題意可設橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），且c=2，
又橢圓過點$（-\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$，∴$2a=\sqrt{（-\frac{3}{2}-0）^{2}+（\frac{5}{2}+2）^{2}}+\sqrt{（-\frac{3}{2}-0）^{2}+（\frac{5}{2}-2）^{2}}$=$2\sqrt{10}$．
∴a=$\sqrt{10}$，則b²=a²-c²=6．
則橢圓方程為：$\frac{{y}^{2}}{10}+\frac{{x}^{2}}{6}=1$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了利用橢圓定義求投影點標準方程，是中檔題．