Question

如圖所示，A，B為單位圓O上的兩點，且點A（1，0），B（

1

2

，

3

2

），點P為弧AB（不包括端點A，B）上的動點，點P（cosθ，sinθ），OP∩AB=C，且

AC

=λ

AB

．
（Ⅰ）求λ（用θ表示）；
（Ⅱ）若

OC

•

AC

=-

1

16

時，求tanθ的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（Ⅰ）由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標形式的運算法則可得

OC

=（1-

λ

2

，

3

2

λ），根據(jù)

OP

∥

OC

，可得

1- λ 2

cosθ

=

3 2 λ

sinθ

，由此λ 的值．
（Ⅱ）由

OC

•

AC

=

λ2

2

-

λ

2

=-

1

16

，求得λ=

1

4

，可得 

sinθ

sin(θ+ π 3 )

=

1

4

，由此求得tanθ 的值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得

AC

=

OC

-

OA

=λ•

AB

=λ（-

1

2

，

3

2

），∴

OC

=（1-

λ

2

，

3

2

λ）．
又

OP

=（cosθ，sinθ），

OP

∥

OC

，∴

1- λ 2

cosθ

=

3 2 λ

sinθ

，∴λ=

sinθ

sin(θ+ π 3 )

．
（Ⅱ）∵

OC

•

AC

=（1-

λ

2

，

3

2

λ）•（-

λ

2

，

3

2

λ）=

λ2

2

-

λ

2

=-

1

16

，求得λ=

1

4

，
∴

sinθ

sin(θ+ π 3 )

=

1

4

，求得tanθ=

3

7

．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標形式的運算，兩個向量共線的性質，屬于基礎題．