Question

3．某工廠為了對新研究的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：

單價x元	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
銷售y件	90	84	83	80	75	68

（1）求回歸直線方程$\hat y=\hat bx+\hat a$，其中$\hat b$=-20．
（2）預計在今后的銷售中，銷售與單價仍然服從（1）中的關系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價定為多少元？

Answer 1

分析 （1）計算平均數(shù)，利用$\hat b$=-20，求出$\widehat{a}$，即可求得回歸直線方程；
（2）設工廠獲得的利潤為y元，利用利潤=銷售收入-成本，建立函數(shù)，利用配方法可求工廠獲得的利潤最大．

解答 解：（1）$\overline{x}=\frac{8+8.2+8.4+8.6+8.8+9}{6}=8.5$，
$\overline{y}$=$\frac{1}{6}（90+84+83+80+75+68）=80$
∵$\hat b$=-20，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\hat b$$\overline x$，
∴$\widehat{a}$=80+20×8.5=250
∴回歸直線方程$\widehaty$=-20x+250；
（2）設工廠獲得的利潤為y元，則y=x（-20x+250）-4（-20x+250）=-20${（x-\frac{33}{4}）}^{2}+361.25$
∴該產(chǎn)品的單價應定為$\frac{33}{4}$元，工廠獲得的利潤最大．

點評 本題主要考查回歸分析，考查二次函數(shù)，考查運算能力、應用意識，屬于中檔題．