Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：mx-y+1=m，圓C：（x+1）²+（y-2）²=6．
（1）求證：對于任意m∈R，直線l與圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）當(dāng)直線l被圓C截得的弦長最短時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）直線l：mx-y+1=m，即為m（x-1）=y-1，可得定點(diǎn)M（1，1），代入圓的方程，可得M在圓內(nèi)，即可得證；
（2）當(dāng)圓心C到直線l的距離最大時(shí)弦長最短，此時(shí)CM⊥l，求得直線CM的斜率，由垂直的條件，可得直線l的斜率，即m的值，進(jìn)而得到直線l的方程．

解答 解：（1）證明：直線l：mx-y+1=m，即為m（x-1）=y-1，
令x=1，則y=1．
故直線l恒過點(diǎn)M（1，1），
又（1+1）²+（1-2）²=5＜6，
即有點(diǎn)M（1，1）在圓C內(nèi)，
∴直線l與圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)；                                
（2）當(dāng)圓心C到直線l的距離最大時(shí)弦長最短，
此時(shí)CM⊥l，
圓C：（x+1）²+（y-2）²=6的圓心為C（-1，2），
由直線CM的斜率為$\frac{2-1}{-1-1}$=-$\frac{1}{2}$，
即有直線l的斜率${k_l}=-\frac{1}{{{k_{CM}}}}=-\frac{1+1}{1-2}=2$，即m=2，
則直線l的方程為2x-y-1=0．

點(diǎn)評 本題考查直線和圓的位置關(guān)系：相交，同時(shí)考查直線恒過定點(diǎn)的求法，以及弦長的最值的情況，屬于中檔題．