Question

10．已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦點，B是橢圓的上頂點，BF₂的延長線交橢圓于點A，過點A垂直于x軸的直線交橢圓于點C．
（1）若點C坐標為$（\frac{4}{3}，\frac{1}{3}）$，且|BF₂|=$\sqrt{2}$，求橢圓的方程；
（2）若F₁C⊥AB，求橢圓的離心率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的方程和性質(zhì)，建立方程關系即可求出a，b的值．
（2）求出C的坐標，利用F₁C⊥AB建立斜率之間的關系，解方程即可求出e的值．

解答 解：（1）∵C的坐標為（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），
∴$\frac{\frac{16}{9}}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{9}}{^{2}}$=1，即$\frac{16}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=9，
∵|BF₂|=$\sqrt{2}$，a²=b²+c²，
∴a²=（$\sqrt{2}$）²=2，即b²=1，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）設F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
∵B（0，b），
∴直線BF₂：y=-$\frac{c}$x+b，代入橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）得
（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$）x²-$\frac{2}{c}$x=0，
解得x=0，或x=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，
∵A（$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，$\frac{b（{c}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}+{c}^{2}}$），且A，C關于x軸對稱，
∴C（$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，-$\frac{b（{c}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}+{c}^{2}}$），
則${k}_{{F}_{1}C}$=-$\frac{\frac{b（{c}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}+{c}^{2}}}{\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}+c}$=$\frac{{a}^{2}b-b{c}^{2}}{3{a}^{2}c+{c}^{3}}$，
∵F₁C⊥AB，
∴$\frac{{a}^{2}b-b{c}^{2}}{3{a}^{2}c+{c}^{3}}$•（-$\frac{c}$）=-1，
由b²=a²-c²得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
即e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題主要考查圓錐曲線的綜合問題，要求熟練掌握橢圓方程的求法以及直線垂直和斜率之間的關系，運算量較大．