Question

3．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+3x在[2，4]上是單調(diào)遞增函數(shù)，求參數(shù)a的取值范圍？

Answer 1

分析 由題意可得f′（x）=3x²-2ax+3≥0在[2，4]上恒成立，即x∈[2，4]時，a≤$\frac{{3x}^{2}+3}{2x}$，利用單調(diào)性求得由函數(shù)y=$\frac{3x+\frac{3}{x}}{2}$ 在[2，4]上的最小值，可得a的范圍．

解答 解：由于函數(shù)f（x）=x³-ax²+3x在[2，4]上是單調(diào)遞增函數(shù)，故有f′（x）=3x²-2ax+3≥0在[2，4]上恒成立，
即x∈[2，4]時，a≤$\frac{{3x}^{2}+3}{2x}$=$\frac{3x+\frac{3}{x}}{2}$，由函數(shù)y=$\frac{3x+\frac{3}{x}}{2}$ 在[2，4]上單調(diào)遞增，可得當(dāng)x=2時，函數(shù)y=$\frac{3x+\frac{3}{x}}{2}$ 取得最小值為$\frac{15}{4}$，
∴a≤$\frac{15}{4}$．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．