Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-a（其中a∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）．
（I）當(dāng)a=e時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)0≤a≤1時(shí)，求證f（x）≥0；
（Ⅲ）求證：對任意正整數(shù)n，都有（1+$\frac{1}{2}}$）（1+$\frac{1}{2^2}}$）…（1+$\frac{1}{2^n}}$）＜e．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得出單調(diào)區(qū)間，從而求出極值；
（Ⅱ）只要求出函數(shù)的最小值，證明函數(shù)的最小值大于等于0即可；
（Ⅲ）由函數(shù)的最小值，構(gòu)造不等式，令x=$\frac{1}{{2}^{n}}$，得出關(guān)于正整數(shù)n的不等式$ln（1+\frac{1}{{2}^{n}}）≤\frac{1}{{2}^{n}}$，運(yùn)用累加法即可證明．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=e時(shí)，f（x）=e^x-ex-e，f′（x）=e^x-e，
當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0；
所以函數(shù)f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值f（1）=-e，函數(shù)f（x）無極大值；
（Ⅱ）由f（x）=e^x-ax-a，f′（x）=e^x-a
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=e^x≥0恒成立，滿足條件，
②當(dāng)0＜a≤1時(shí)，由f′（x）=0，得x=lna，
則當(dāng)x∈（-∞，lna）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（lna，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）在x=lna處取得極小值即為最小值，
f（x）_min=f（lna）=e^lna-alna-a=-alna
∵0＜a≤1，∴l(xiāng)na≤0，∴-alna≥0，∴f（x）_min≥0，
∴綜上得，當(dāng)0≤a≤1時(shí)，f（x）≥0；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）≥0 恒成立，所以f（x）=e^x-x-1≥0恒成立，
即e^x≥x+1，∴l(xiāng)n（x+1）≤x，令x=$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N₊），得$ln（1+\frac{1}{{2}^{n}}）≤\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$ln（1+\frac{1}{2}）+ln（1+\frac{1}{{2}^{2}}）+…+ln（1+\frac{1}{{2}^{n}}）$≤$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=1-$（\frac{1}{2}）^{n}＜1$，
∴（1+$\frac{1}{2}}$）（1+$\frac{1}{2^2}}$）…（1+$\frac{1}{2^n}}$）＜e．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值，恒成立問題，以及不等式的證明，運(yùn)用了等價(jià)轉(zhuǎn)化，分類討論和化歸思想．屬于導(dǎo)數(shù)中的綜合題，較難．