Question

5．若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}-\frac{1}{x}，\;\;0＜\;x≤4\\ lnx-1，\;\;\;\;\;\;x＞4\end{array}$在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值為2．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求不等式f（x）＜1的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）易知f（x）=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{x}$在[$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)遞增，從而可得f（2）=2，從而解得a；
（Ⅱ）由（I）知，分0＜x≤4與x＞4時(shí)分別解不等式f（x）＜1，從而得到不等式的解集即可．

解答 解：（Ⅰ）由分段函數(shù)知，
f（x）=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{x}$在[$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)遞增，
∴f（2）=2，
即$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{2}$=2，
解得，a=$\frac{2}{5}$；
（Ⅱ）由（I）知，
當(dāng)0＜x≤4時(shí)，$f（x）=\frac{5}{2}-\frac{1}{x}＜1$，
解得$0＜x＜\frac{2}{3}$；
當(dāng)x＞4時(shí)，
f（x）=lnx-1＜1，
解得4＜x＜e²，
綜上所述，不等式的解集為（0，$\frac{2}{3}$）∪（4，e²）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的思想應(yīng)用及反比例函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．