Question

1．已知f（x）為R上的奇函數(shù)，且x＞0時f（x）=-x²+（a+2）x-a²+5（其中a為實常數(shù)）．
（1）求f（0）的值；
（2）求x＜0時f（x）的解析式；
（3）若f（x）在區(qū)間（0，2]上的最大值為2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的奇偶性直接求出結(jié)果．
（2）利用函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的解析式即可．
（3）通過函數(shù)的對稱軸以及函數(shù)的解析式通過最值求解a的值即可．

解答 解：（1）∵f（-0）=-f（0），∴f（0）=0．（2分）
（2）當x＜0時，-x＞0，則f（x）=-f（-x）=-[-（-x）²+（a+2）•（-x）-a²+5]=x²+（a+2）x+a²-5（5分）
（3）x∈（0，2]時，f（x）=-x²+（a+2）x-a²+5，顯然對稱軸$x=\frac{a+2}{2}＞0$（7分）
①當$0＜\frac{a+2}{2}＜2$即-2＜a＜2時，則$x=\frac{a+2}{2}$時取得最大值，則$\frac{{-4（-{a^2}+5）-{{（a+2）}^2}}}{-4}=2$，解得$a=\frac{{2-2\sqrt{13}}}{3}$（$a=\frac{{2+2\sqrt{13}}}{3}＞2$舍去）（9分）
②當$\frac{a+2}{2}≥2$即a≥2時，則x=2時取得最大值，則-2²+2（a+2）-a²+5=2，解得a=3（a=-1＜2舍去）          （11分）
綜上知$a=\frac{{2-2\sqrt{13}}}{3}$或a=3．（12分）

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值問題的求法，考查計算能力．