Question

16．已知命題p：集合 A={x|x²+（m+2）x+1=0，x∈R}，集合 B=（0，+∞），且 A∩B≠∅；命題q：方程x²-mx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求命題p成立時的集合 P以及命題q成立時的集合Q；
（2）若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若命題p正確：集合 A={x|x²+（m+2）x+1=0，x∈R}，集合 B=（0，+∞），且 A∩B≠∅；由x₁x₂=1＞0，可得$\left\{\begin{array}{l}{△=0}\\{-\frac{m+2}{2}＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=1＞0}\end{array}\right.$，
解得m可得：集合 P．若命題q正確：方程x²-mx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，可得：△＞0，解得m可得集合Q．
（2）“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，可得p與q必然一真一假．解出即可．

解答 解：（1）若命題p正確：集合 A={x|x²+（m+2）x+1=0，x∈R}，集合 B=（0，+∞），且 A∩B≠∅；
△=（m+2）²-4=m（m+4）．∵x₁x₂=1＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=0}\\{-\frac{m+2}{2}＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=1＞0}\end{array}\right.$，
解得m=-4，或m＜-4，可得：集合 P=（-∞，-4]．
若命題q正確：方程x²-mx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△=m²-4＞0，解得m＞2或m＜-2．
∴集合Q=（-∞，-2）∪（2，+∞）．
（2）∵“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，
∴p與q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≤-4}\\{-2≤m≤2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＞-4}\\{m＜-2或m＞2}\end{array}\right.$，
解得m∈∅，或-4＜m＜-2或m＞2．
∴實數(shù)m的取值范圍是-4＜m＜-2或m＞2．

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、一元二次方程的解與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．