Question

11．設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，其函數(shù)為f′（x），若f（x）+f′（x）＜1，f（0）=2015，則不等式e^xf（x）-e^x＞2014（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（　　）

• A． （2014，+∞）
• B． （-∞，0）∪（2014，+∞）
• C． （-∞，0）∪（0，+∞）
• D． （-∞，0）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），研究g（x）的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值即可求解．

解答 解：設(shè)g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），
則g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）+f′（x）＜1，
∴f（x）+f′（x）-1＜0，
∴g′（x）＜0，
∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞減，
∵e^xf（x）-e^x＞2014，
∴g（x）＞2014，
又∵g（0）=e⁰f（0）-e⁰=2015-1=2014，
∴g（x）＞g（0），
∴x＜0．
∴不等式e^xf（x）-e^x＞2014的解集為（-∞，0）．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．