Question

4．已知a＞0，b＞0，且a+b=2．
（1）求$\frac{2}{a}$+$\frac{8}$的最小值及其取得最小值時a，b的值；
（2）求證：a²+b²≥2．

Answer 1

分析 （1）利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．
（2）利用2（a²+b²）≥（a+b）²即可得出．

解答 解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+b=2．
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{8}$=$\frac{1}{2}（a+b）$$（\frac{2}{a}+\frac{8}）$=$（a+b）（\frac{1}{a}+\frac{4}）$=5+$\frac{a}$+$\frac{4a}$≥$5+2\sqrt{\frac{a}×\frac{4a}}$=9，
當且僅當$a=\frac{2}{3}$，b=$\frac{4}{3}$時等號成立．
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{8}$的最小值為9．
（2）∵a＞0，b＞0，且a+b=2．
∴2（a²+b²）≥（a+b）²=4，
∴a²+b²≥2，當且僅當a=b=1時取等號．

點評 本題考查了基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．