Question

4．已知函數(shù)f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²+bx+c．
（1）若f（x）在（-∞，+∞）是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（2）若b=-2且x∈[-1，2]時，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導數(shù)，結合函數(shù)的單調(diào)性從而求出b的取值范圍；（2）先求出函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值，得到c²＞2+c，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-x+b，
∵f（x）在（-∞，+∞）是增函數(shù)，
∴f′（x）≥0恒成立，∴△=1-12b≤0，解得：b≥$\frac{1}{12}$，
∵x∈（-∞，+∞）時，只有b=$\frac{1}{12}$時，f′$（\frac{1}{6}）$=0，
∴b的取值范圍為[$\frac{1}{12}$，+∞）．         
（2）由題意得：f′（x）=3x²-x-2，
列表分析最值：

x	-1	（-1，-$\frac{2}{3}$）	-$\frac{2}{3}$	（-$\frac{2}{3}$，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	$\frac{1}{2}$+c	遞增	極大值$\frac{22}{27}$+c	遞減	極小值-$\frac{3}{2}$+c	遞增	2+c

∴當x∈[-1，2]時，f（x）的最大值為：f（2）=2+c，
∵對x∈[-1，2]時，f（x）＜c²恒成立，
∴c²＞2+c，解得：c＜-1或c＞2，
故C的取值范圍為（-∞，-1）∪（2，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．