Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n-5a_n+23，n∈N^*，則數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=1+$3×（\frac{5}{6}）^{n-1}$．

Answer 1

分析 由S_n=n-5a_n+23，n∈N^*，可得n=1時，a₁=1+23-5a₁，解得a₁．n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，變形為：a_n-1=$\frac{5}{6}$（a_n-1-1），再利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵S_n=n-5a_n+23，n∈N^*，∴n=1時，a₁=1+23-5a₁，解得a₁=4．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n-5a_n+23-[（n-1）-5a_n-1+23]=1-5a_n+5a_n-1，
變形為：a_n-1=$\frac{5}{6}$（a_n-1-1），
∴數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，首項為3，公比為$\frac{5}{6}$，
∴a_n-1=$3×（\frac{5}{6}）^{n-1}$，即a_n=1+$3×（\frac{5}{6}）^{n-1}$，
故答案為：1+$3×（\frac{5}{6}）^{n-1}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．