Question

4．已知點(diǎn)O是正方體ABCD-A′B′C′D′的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過B′作B′H⊥D′O于點(diǎn)H，求證：B′H⊥平面ACD′．

Answer 1

分析 連結(jié)BD，AC交點(diǎn)即為O，連結(jié)BD，先利用線面垂直的性質(zhì)證明出AC⊥BB′，然后推斷出AC⊥BD，進(jìn)而利用線面垂直的判定定理證明出AC⊥面BDD′B′，則可推斷出AC⊥B′H，進(jìn)而根據(jù)已知條件和線面垂直的判定定理證明出B′H⊥平面ACD′．

解答 證明：連結(jié)BD，AC交點(diǎn)即為O，連結(jié)BD，
由題意知BB′⊥面ABCD，
∵AC?面ABCD，
∴AC⊥BB′，
∵ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，
∵BD?面ABCD，BB′?面ABCD，BD∩BB′=B，
∴AC⊥面BDD′B′，
∵B′H?面BDD′B′，
∴AC⊥B′H，
∵B′H⊥D′O，D′O?平面ACD′，AC平面ACD′，AC∩OD=O，
∴B′H⊥平面ACD′．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線面垂直的判定定理的運(yùn)用．要求學(xué)生能熟練掌握判定定理的內(nèi)容并能靈活運(yùn)用．