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8.已知f(x)是定義在R上的偶函數,且x≤0時,f(x)=log12(-x+1)
(1)求f(3)+f(-1)
(2)求函數f(x)的解析式;
(3)若f(a-1)<-1,求實數a的取值范圍.

分析 (1)利用函數奇偶性的性質即可求f(3)+f(-1)
(2)根據函數奇偶性的性質即可求函數f(x)的解析式;
(3)若f(a-1)<-1,將不等式進行轉化即可求實數a的取值范圍.

解答 解:(I)∵f(x)是定義在R上的偶函數,x≤0時,f(x)=log12(-x+1),
∴f(3)+f(-1)=f(-3)+f(-1)=log124+log122=-2-1=-3;
(II)令x>0,則-x<0,f(-x)=log12(x+1)=f(x)
∴x>0時,f(x)=log12(x+1),
則f(x)={log12x+1x0log12x+1x0
(Ⅲ)∵f(x)=log12(-x+1)在(-∞,0]上為增函數,
∴f(x)在(0,+∞)上為減函數
∵f(a-1)<-1=f(1)
∴|a-1|>1,
∴a>2或a<0

點評 本題主要考查函數解析式的求解以及不等式的求解,根據函數奇偶性的性質求出函數的解析式是解決本題的關鍵.

練習冊系列答案
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