Question

16．已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)數(shù)f′（x），若存在x₀，使得f（x₀）=f′（x₀），則稱x₀是f（x）的一個(gè)“巧值點(diǎn)”．下列函數(shù)有“巧值點(diǎn)”的是①③④（填序號(hào)）
①f（x）=x² ②$f（x）=\frac{1}{e^x}$   ③f（x）=lnx   ④$f（x）=x+\frac{1}{x}$．

Answer 1

分析 根據(jù)“巧值點(diǎn)”的定義，對(duì)①②③④五個(gè)命題逐一判斷即可得到答案．

解答 解：①中的函數(shù)f（x）=x²，f′（x）=2x．要使f（x）=f′（x），則x²=2x，解得x=0或2，可見函數(shù)有巧值點(diǎn)；
對(duì)于②中的函數(shù)，要使f（x）=f′（x），則e^-x=-e^-x，由對(duì)任意的x，有e^-x＞0，可知方程無解，原函數(shù)沒有巧值點(diǎn)；
對(duì)于③中的函數(shù)，要使f（x）=f′（x），則lnx=$\frac{1}{x}$，

由函數(shù)f（x）=lnx與y=$\frac{1}{x}$的圖象知，它們有交點(diǎn)，因此方程有解，原函數(shù)有巧值點(diǎn)；
對(duì)于④中的函數(shù)，要使f（x）=f′（x），則x+$\frac{1}{x}$=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，即x³-x²+x+1=0，
設(shè)函數(shù)g（x）=x³-x²+x+1，g′（x）=3x²+2x+1＞0且g（-1）＜0，g（0）＞0，
顯然函數(shù)g（x）在（-1，0）上有零點(diǎn)，原函數(shù)有巧值點(diǎn)．
故有“巧值點(diǎn)”的函數(shù)為①③④．
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，突出等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的考查，屬于中檔題．