Question

已知直線l：x-2y+8=0和兩點(diǎn)A（2，0），B（-2，-4），若直線l上存在點(diǎn)P使得|PA|+|PB|最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：先判斷A、B與直線l：x+2y-2=0的位置關(guān)系，即把點(diǎn)的坐標(biāo)代入x+2y-2，看符號(hào)相同在同側(cè)，相反異側(cè)．使|PA|+|PB|最小，如果A、B在l的同側(cè)，將其中一點(diǎn)對(duì)稱到l的另一側(cè)，連線與l的交點(diǎn)即為P；如果A、B在l的異側(cè)，則直接連線求交點(diǎn)P即可．

解答： 解：可判斷A、B在直線l的同側(cè)，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（x₁，y₁）．
則有

x1+2

2

-2•

y1

2

+8=0，

y1

x1-2

•

1

2

=-1．
解得：x₁=-2，y₁=8．
直線A₁B的方程為x=-2，直線A₁B與l的交點(diǎn)可求得為P（-2，3）．
由平面幾何知識(shí)可知|PA|+|PB|最�。�
故答案為：（-2，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，直線關(guān)于直線對(duì)稱問題，以及平面幾何知識(shí)，是中檔題．