Question

1．直線l過點(diǎn)P（1，4）分別交x軸的正方向和y軸正方向于A、B兩點(diǎn)．
①當(dāng)|OA|+|OB|最小時(shí)，求l的方程．
②當(dāng)|PA|•|PB|最小時(shí)，求l的方程．

Answer 1

分析 ①由已知直線l的斜率k＜0，設(shè)直線l的方程為y-4=k（x-1），則A（$-\frac{4}{k}+1$，0），B（0，-k+4），由此利用均值定理能求出|OA|+|OB|最小時(shí)直線l的方程．
②由|PA|•|PB|=$\sqrt{（-\frac{4}{k}+1-1）^{2}+{4}^{2}}$•$\sqrt{{1}^{2}+（-k+4-4）^{2}}$，利用均值定理能求出當(dāng)|PA|•|PB|最小時(shí)，直線l的方程．

解答 解：①∵直線l過點(diǎn)P（1，4）分別交x軸的正方向和y軸正方向于A、B兩點(diǎn)，
∴直線l的斜率k＜0，設(shè)直線l的方程為y-4=k（x-1），
則A（$-\frac{4}{k}+1$，0），B（0，-k+4），
∴|OA|+|OB|=-$\frac{4}{k}+1+（-k+4）$
=（-$\frac{4}{k}$-k）+5≥2$\sqrt{（-\frac{4}{k}）•（-k）}$+5=9，
當(dāng)且僅當(dāng)k=-2時(shí)取等號(hào)，∴l(xiāng)的方程為y-4=-2（x-1），
即2x+y-6=0．
②由①知|PA|•|PB|=$\sqrt{（-\frac{4}{k}+1-1）^{2}+{4}^{2}}$•$\sqrt{{1}^{2}+（-k+4-4）^{2}}$
=$\sqrt{\frac{16（{k}^{2}+1）^{2}}{{k}^{2}}}$=-$\frac{4}{k}（{k}^{2}+1）$=4（-$\frac{1}{k}-k$）≥4$•2\sqrt{（-\frac{1}{k}）•（-k）}$=8，
當(dāng)且僅當(dāng)k=-1時(shí)取等號(hào)，
∴l(xiāng)的方程為y-4=-（x-1），即x+y-5=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值定理的合理運(yùn)用．