Question

8．過橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)A作斜率為2的直線，與橢圓的另一個交點(diǎn)為B，與y軸的交點(diǎn)為C，已知|AB|=$\frac{6}{13}$|BC|．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)動直線y=kx+m與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)P，且與直線x=4相交于點(diǎn)Q，若x軸上存在一定點(diǎn)M（1，0），使得PM⊥QM，求橢圓的方程．

Answer 1

分析 （1）利用|AB|=$\frac{6}{13}$|BC|．設(shè)直線AB：y=2（x+a），A（-a，0），C（0，2a），求出$B（-\frac{13}{19}a，\frac{12}{19}a）$帶入橢圓方程，求解離心率．
（2）設(shè)橢圓方程為$\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$，聯(lián)立y=kx+m，利用y=kx+m與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)，△=0，通過PM⊥QM數(shù)量積為0，得到方程．求解可得橢圓方程．

解答 解：（1）由|AB|=$\frac{6}{13}$|BC|．知$\overrightarrow{AB}=\frac{6}{13}\overrightarrow{BC}$，設(shè)直線AB：y=2（x+a），A（-a，0），C（0，2a）
所以$B（-\frac{13}{19}a，\frac{12}{19}a）$帶入$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$得，3a²=4b²，所以$e=\frac{1}{2}$…（5分）
（2）由（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$，聯(lián)立y=kx+m和橢圓得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12c²=0，由y=kx+m與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)P知△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12c²）=0得m²=c²（3+4k²），（1）…（8分）$P（\frac{-4km}{{3+4{k^2}}}，\frac{3m}{{3+4{k^2}}}）$，Q（4，4k+m），…（9分）
由PM⊥QM得$（1+\frac{4km}{{3+4{k^2}}}，-\frac{3m}{{3+4{k^2}}}）•（-3，-4k-m）=0$
即m²=（3+4k²），（2）…（10分）
由（1），（2）得c²=1所以橢圓方程為   $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力．