Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n≠0，且S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1（n∈N⁺），求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，當n=1時，${a}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{a}_{2}$，解得a₂．當n≥2時，可得：a_n+1-a_n-1=2．可得數(shù)列{a_2k-1}，{a_2k}（k∈N^*），都是等差數(shù)列，公差為2，首項分別為1，2．
利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，∴當n=1時，${a}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{a}_{2}$，解得a₂=2．
當n≥2時，${S}_{n-1}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}{a}_{n}$，${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n}（{a}_{n+1}-{a}_{n-1}）$，
∵a_n≠0，
∴a_n+1-a_n-1=2．
∴數(shù)列{a_2k-1}，{a_2k}（k∈N^*），都是等差數(shù)列，公差為2，首項分別為1，2．
∴a_2k-1=1+2（k-1）=2k-1，
a_2k=2+2（k-1）=2k．
∴a_n=n．

點評 本題考查了遞推式的應用、等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．