Question

將f(x)=2x-

a

2x

的圖象向右平移2個(gè)單位后得曲線C₁，將函數(shù)y=g（x）的圖象向下平移2個(gè)單位后得曲線C₂，C₁與C₂關(guān)于x軸對(duì)稱．若F(x)=

f(x)

a

+g(x)的最小值為m且m＞2+

7

，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)C₁推出C₂，由C₂推出g（x），再算出F（x）=（

1

a

-

1

4

）•2^x+

4a-1

2x

+2，設(shè)t=2^x，利用非單調(diào)函數(shù)取最值的性質(zhì)和均值定理能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵將f(x)=2x-

a

2x

的圖象向右平移2個(gè)單位后得曲線C₁，
∴曲線C₁：p（x）=2^x-2-

a

2x-2

，
∵曲線C₂，C₁與C₂關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴曲線C₂：q（x）=

a

2x-2

-2^x-2，
∵將函數(shù)y=g（x）的圖象向下平移2個(gè)單位后得曲線C₂，
∴g（x）=

a

2x-2

-2^x-2+2，
∴F(x)=

f(x)

a

+g(x)
=

2x

a

-

1

2x

+

a

2x-2

-2^x-2+2
=（

1

a

-

1

4

）•2^x+

4a-1

2x

+2，
設(shè)t=2^x，
∵2^x＞0，∴t＞0，
∵函數(shù)定義域的端點(diǎn)值取不到，
∴如果函數(shù)有最值，那么該最值就一定在非端點(diǎn)處取到，
也就是說(shuō)該函數(shù)一定不是單調(diào)函數(shù)，
而對(duì)于形如y=ax+

b

x

的函數(shù)只有當(dāng)ab＞0時(shí)才是（0，+∞）上的非單調(diào)函數(shù)，
∴（

1

a

-

1

4

）（4a-1）＞0，
解得a＜0或

1

4

＜a＜4，
當(dāng)a＜0時(shí)，變量t的兩個(gè)系數(shù)都為負(fù)數(shù)，此時(shí)F（x）只有最大值，不合題意．
當(dāng)

1

4

＜a＜4時(shí)，t的兩個(gè)系數(shù)都為正數(shù)，并且t也為正數(shù)，
∴可以用基本不等式：F（x）≥2

( 1 a - 1 4 )(4a-1)

+2，
∵F(x)=

f(x)

a

+g(x)的最小值為m且m＞2+

7

，
∴m=2

( 1 a - 1 4 )(4a-1)

+2＞2+

7

，
聯(lián)立

1

4

＜a＜4，解得：

1

2

＜a＜2．
綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

1

2

，2）．
故答案為：（

1

2

，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)中參數(shù)的取值范圍的求法，涉及到函數(shù)圖象的對(duì)稱性、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值、均值定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度大，解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．