Question

8．△ABC中，AB邊上的中線CD等于2，動點P滿足$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$t•$\overrightarrow{AB}$+（1-t）•$\overrightarrow{AC}$（0≤t≤1），則（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$的取值范圍為[-2，0]．

Answer 1

分析 由向量式變形可推得點P在CD上，由數(shù)量積的定義結合基本不等式可得答案．

解答 解：由題意可得：$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=t•$\overrightarrow{AD}$+（1-t）•$\overrightarrow{AC}$（0≤t≤1），t+1-t=1，
∴P，D，C三點共線，即點P在CD上，
而$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PD}$，
∴（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PC}$=2|$\overrightarrow{PD}$||$\overrightarrow{PC}$|cosπ=-2|$\overrightarrow{PD}$||$\overrightarrow{PC}$|，
∵|$\overrightarrow{PD}$|+|$\overrightarrow{PC}$|=|$\overrightarrow{CD}$|=2，
∴|$\overrightarrow{PD}$|+|$\overrightarrow{PC}$|≤（$\frac{|\overrightarrow{PD}|+|\overrightarrow{PC}|}{2}$）²=1，
∴-2|$\overrightarrow{PD}$||$\overrightarrow{PC}$|≥-2，
故答案為：[-2，0]．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的運算和基本不等式的應用，由題意得出P、D、C三點共線是解決問題的關鍵，屬中檔題．