Question

18．已知函數(shù)f（x）的值域是[-2，1]，函數(shù)g（x）=3x²-18xf（m）+48f（n），且對任意的實數(shù)t，均有g(shù)（1+e^-|t|）≥0，g（2+$\sqrt{4-{t}^{2}}$）≤0．
（1）求g（2）的值；
（2）求函數(shù)g（x）的解析式；
（3）若對任意的a∈[-2，6]，恒有g(shù)（x）≥12x²-ax-42x+13．求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題得，g（x），又1+e^-|t|∈（1，2]，3+sint∈[2，4]，從而g（x）≥0在x∈（1，2]恒成立，g（x）≤0在x∈[2，4]恒成立，最后得出g（2）的值即可；
（2）先求出g（x）=0的另一根的取值范圍，得出2+x₀=6f（m），最后得到f（m），f（n）的值，代入函數(shù)解析式即可；
（3）構(gòu)造關(guān)于a的一次函數(shù)h（a）=ax-9x²+24x-13，不等式恒成立等價于$\left\{\begin{array}{l}{h（-2）≥0}\\{h（6）≥0}\end{array}\right.$，解得即可．

解答 解：（1）由題得，g（x）=3x²-18xf（m）+48f（n），又1+e^-|t|∈（1，2]，2+$\sqrt{4-{t}^{2}}$∈[2，4]，
知g（x）≥0在x∈（1，2]恒成立，g（x）≤0在x∈[2，4]恒成立，
所以g（2）=0；
（2）設g（x）=0的另一根為x₀，由條件得x₀≥4，而2+x₀=6f（m），
∴6f（m）≥6，又6f（m）≤6，所以6f（m）=6，得f（m）=1，
∴g（x）=0的另一根為4，
∴f（n）=$\frac{1}{2}$，
即g（x）=3x²-18x+24．
（3）g（x）≥12x²-ax-42x+13，
∴3x²-18x+24≥12x²-ax-42x+13，
∴ax-9x²+24x+11≥0，
令h（a）=ax-9x²+24x+11，
∴h（a）≥0，在[-2，6]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{h（-2）≥0}\\{h（6）≥0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9{x}^{2}+22x+11≥0}\\{-9{x}^{2}+30x+11≥0}\end{array}\right.$，
∴-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{11+2\sqrt{55}}{9}$．

點評 本題考查待定系數(shù)法求解析式、函數(shù)與方程的綜合運用、簡單線性規(guī)劃的應用問題，解答線性規(guī)劃的問題的關(guān)鍵是應用數(shù)形結(jié)合思想方法，綜合性強，難度較大．