Question

2．在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足tanB=$\frac{cos（C-B）}{sinA+sin（C-B）}$，
（1）判斷△ABC的形狀，并加以證明；
（2）當(dāng)a=2，∠B=x時，將y=$\frac{b+c+1}{bc}$表示成y=f（x）的形式，并求此函數(shù)的定義域，當(dāng)x為何值時，y=f（x）有最值？并求出最值．

Answer 1

分析 （1）切和弦共同存在的等式中，一般要切化弦，根據(jù)兩外項之積等于兩內(nèi)項之積，把分式化為整式，移項，逆用兩角和的余弦公式，把腳C化為A+B用兩角和的余弦公式展開，合并同類項，得到兩角余弦乘積為零，則兩角中必有一個直角．
（2）由題意及（1）可得：A=$\frac{π}{2}$，由正弦定理可解得b=2sinx，c=2cosx，從而可得$y=\frac{b+c+1}{bc}=\frac{2（sinx+cosx）+1}{4sinxcosx}$，$（{0＜x＜\frac{π}{2}}）$．
設(shè)sinx+cosx=t，$y=\frac{2t+1}{{2{t^2}-2}}$，設(shè)u=2t+1，$t=\frac{u-1}{2}$，$y=\frac{2u}{{{u^2}-2u-3}}$=$\frac{2}{{u-\frac{3}{u}-2}}$，由x的范圍，可求t，u的范圍，利用基本不等式的解法即可得解．

解答 解：（1）△ABC是直角三角形．
證明：由已知得：$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{cos（C-B）}{sinA+sin（C-B）}$，
∴sinAsinB+sinBsin（C-B）=cosBcos（C-B），
移項，逆用兩角和的余弦公式得：sinAsinB=cosC，
∵在△ABC中，cosC=-cos（A+B），
∴sinAsinB=-cos（A+B），
∴cosAcosB=0，
∴cosA=0或 cosB=0（舍去），
∴△ABC是直角三角形．
（2）∵當(dāng)a=2，∠B=x時，由（1）可得：A=$\frac{π}{2}$，由正弦定理可得：2=$\frac{sinx}$=$\frac{c}{sinC}$，sinC=cosx．
∴解得：b=2sinx，c=2cosx，
∴$y=\frac{b+c+1}{bc}=\frac{2（sinx+cosx）+1}{4sinxcosx}$，$（{0＜x＜\frac{π}{2}}）$．
設(shè)sinx+cosx=t，$y=\frac{2t+1}{{2{t^2}-2}}$，設(shè)u=2t+1，$t=\frac{u-1}{2}$，$y=\frac{2u}{{{u^2}-2u-3}}$=$\frac{2}{{u-\frac{3}{u}-2}}$，
∵$x∈（{0，\frac{π}{2}}）\;，t∈（{1，\sqrt{2}}]\;，u∈（{3\;，\;1+2\sqrt{2}}]$，當(dāng)$u=1+2\sqrt{2}$時，${y_{min}}=\frac{{1+2\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用，函數(shù)的定義域及其求法，不等式的解法及應(yīng)用，考查了換元法和轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．