Question

20．如圖，正方形ABCD的邊長為2，O為AD的中點(diǎn)，射線OP從OA出發(fā)，繞著點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至OD，在旋轉(zhuǎn)的過程中，記∠AOP為x（x∈[0，π），OP所經(jīng)過的在正方形ABCD內(nèi)的區(qū)域（陰影部分）的面積S=f（x），那么對于函數(shù)f（x）有以下三個(gè)結(jié)論：
①f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
②函數(shù)f（x）在（$\frac{π}{2}$，π）上為減函數(shù)
③任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有f（$\frac{π}{2}$-x）+f（$\frac{π}{2}$+x）=4
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③．

Answer 1

分析 ①直接帶入求解②結(jié)合圖象可知f（x）為增函數(shù)③利用圖形的對稱關(guān)系即可判斷．

解答 解：①∵$\frac{π}{3}$＜arctan2，∴射線OP交正方形ABCD與AB邊，設(shè)交點(diǎn)為M，則AM=$\sqrt{3}$，∴f（$\frac{π}{3}$ ）=$\frac{1}{2}$•OA•AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，①正確；
②由圖形可知當(dāng)x逐漸增大時(shí)，OP所經(jīng)過的在正方形ABCD內(nèi)的區(qū)域（陰影部分）的面積逐漸增大，所以f（x）為增函數(shù)，②不正確；
③由圖形對稱性可得：?x∈[0，π]），f（x）+f（π-x）=4，∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，$\frac{π}{2}-x$$∈[0，\frac{π}{2}]$∴f（$\frac{π}{2}-x$）+f（π-（$\frac{π}{2}-x$））=4，
即f（ $\frac{π}{2}$-x）+f（ $\frac{π}{2}$+x）=4，③正確；
故答案為：①③．

點(diǎn)評 本題考查了圖形面積的計(jì)算、簡易邏輯的判定，考查了分類討論思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．