Question

8．在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=$\frac{1}{4}$，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{4}$，b_n=log${\;}_{\frac{1}{4}}$a_n（n∈N^*）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （I）由a₁=$\frac{1}{4}$，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{4}$，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a_n．利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得b_n．
（II）c_n=a_n•b_n=n$（\frac{1}{4}）^{n}$．利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）∵a₁=$\frac{1}{4}$，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{4}$，可知：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{1}{4}$，公比為$\frac{1}{4}$，
∴a_n=$（\frac{1}{4}）^{n}$．
∴b_n=log${\;}_{\frac{1}{4}}$a_n=n．
（II）c_n=a_n•b_n=n$（\frac{1}{4}）^{n}$．
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{4}$+2$•（\frac{1}{4}）^{2}$+$3×（\frac{1}{4}）^{3}$+…+n$（\frac{1}{4}）^{n}$．
$\frac{1}{4}$S_n=$（\frac{1}{4}）^{2}+2×（\frac{1}{4}）^{3}$+…+（n-1）$（\frac{1}{4}）^{n}$+$n•（\frac{1}{4}）^{n+1}$．
∴$\frac{3}{4}{S}_{n}$=$\frac{1}{4}+（\frac{1}{4}）^{2}$+…+$（\frac{1}{4}）^{n}$-n•$（\frac{1}{4}）^{n+1}$=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$-n•$（\frac{1}{4}）^{n+1}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{4+3n}{3×{4}^{n+1}}$，
∴S_n=$\frac{4}{9}$-$\frac{4+3n}{9×{4}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．