Question

5．已知直線y=x-m與拋物線y²=2x相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）當(dāng)m=2時(shí)，證明：OA⊥OB；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-1？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過直線方程y=x-2與拋物線方程y²=2x，消去x利用韋達(dá)定理可知y₁+y₂=2、y₁y₂=-4，問題轉(zhuǎn)化為證明$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0即可，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過聯(lián)立直線與拋物線方程，消去x利用韋達(dá)定理可知y₁+y₂=2、y₁y₂=-2m，利用$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-1計(jì)算可得m=1．

解答 （1）證明：依題意，直線方程為：y=x-2，
聯(lián)立直線與拋物線方程，消去x，整理得：
y²-2y-4=0，
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=2，y₁y₂=-4，
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂
=（y₁+2）（y₁+2）+y₁y₂
=2y₁y₂+2（y₁+y₂）+4
=-8+4+4
=0，
∴$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，即OA⊥OB；
（2）結(jié)論：存在實(shí)數(shù)m=1，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-1．
理由如下：
聯(lián)立直線與拋物線方程，消去x，整理得：
y²-2y-2m=0，
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=2，y₁y₂=-2m，
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂
=（y₁+m）（y₁+m）+y₁y₂
=2y₁y₂+m（y₁+y₂）+m²
=-4m+2m+m²
=-1，
∴m²-2m+1=0，
解得：m=1，
于是存在實(shí)數(shù)m=1，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-1．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．