Question

2．定義兩個實數(shù)間的一種新運算“*”：x*y=lg（10^x+10^y）（x，y∈R）．對于任意實數(shù)a，b，c，給出如下結論：
①a*b=b*a；②（a*b）*c=a*（b*c）③（a*b）+c=（a+c）*（b+c）；④（a*b）×c=（a×c）*（b×c）．其中正確的結論是1，2，3．

Answer 1

分析 由x*y=lg（10^x+10^y），x，y∈R，對①②③④逐個判斷即可．

解答 解：∵x*y=lg（10^x+10^y），x，y∈R，
∴①中，a*b=lg（10^a+10^b），
∴（a*b）*c=lg（10^a*b+10^c）=lg（10lg（10a+10b）+10^c）=lg（10^a+10^b+10^c）；
同理可求，a*（b*c）=lg（10^a+10^b+10^c）；  
∴（a*b）*c=a*（b*c），故①正確；  
②由①知，a*b=lg（10^a+10^b），同理可得b*a=lg（10^a+10^b），
即a*b=b*a，故②正確；
③中，左邊（a*b）+c=lg（10^a+10^b）+c；
右邊（a+c）*（b+c）
=lg（10^a+c+10^b+c）
=lg[10^c（10^a+10^b）]
=lg10^c+lg（10^a+10^b）
=c+lg（10^a+10^b）=左邊，
故③正確；
④中，左邊：=（a*b）×c=clg（10^a+10^b）=lg（10^a+10^b）^c，
右邊=（a×c）*（b×c）=lg（10^ac+10^bc）≠左邊．
故④不正確；
故答案為：1，2，3．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查對數(shù)的運算性質與對數(shù)恒等式的應用，考查推理與運算能力，屬于中檔題．