Question

1．已知S_n是數(shù)列{$\frac{n}{{2}^{n-1}}$}的前n項和，若不等式|λ+1|＜S_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$對一切n∈N^*恒成立，則λ的取值范圍是-3＜λ＜1．

Answer 1

分析 利用錯位相減法計算可知S_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，化簡可知4-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$≥2，從而問題轉(zhuǎn)化為解不等式|λ+1|＜2，計算即得結(jié)論．

解答 解：∵S_n是數(shù)列{$\frac{n}{{2}^{n-1}}$}的前n項和，
∴S_n=1•$\frac{1}{{2}^{0}}$+2•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}$S_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
兩式相減，得：$\frac{1}{2}$S_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
即S_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，
∴S_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$=4-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
∵$\frac{1}{{2}^{n-2}}$隨著n的增大而減小，
∴當(dāng)n=1時4-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$取最小值4-$\frac{1}{{2}^{1-2}}$=2，
∴|λ+1|＜2，解得：-3＜λ＜1，
故答案為：-3＜λ＜1．

點(diǎn)評 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查錯位相減法，考查數(shù)列的單調(diào)性，注意解題方法的積累，屬于中檔題．