Question

9．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積是$\frac{2}{3}$；  表面積是$3+\sqrt{2}+\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由三視圖畫出幾何體的直觀圖，確定幾何體的線面關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，由椎體的體積公式求出此幾何體的體積；由線面垂直的判定定理和定義證明側(cè)面均為直角三角形，由三角形的面積公式求出三棱錐的表面積．

解答 解：由三視圖可知此幾何體為一個三棱錐，其直觀圖如圖：
側(cè)棱PA⊥平面ABC，△ABC為等腰直角三角形，
且∠C=90°，PA=AB=2，
∴AC=BC=$\sqrt{2}$，
∴此幾何體的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×2$=$\frac{2}{3}$；
∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，
又BC⊥AC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，PC?平面PAC，∴BC⊥PC，
∴△PCB為直角三角形，且PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴其表面積S=S_△PAC+S_△PAB+S_△PBC+S_△ABC
=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}+\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{6}+\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$
=$3+\sqrt{2}+\sqrt{3}$，
故答案為：$\frac{2}{3}$；$3+\sqrt{2}+\sqrt{3}$

點評 本題考查三視圖求幾何體的體積以及表面積，以及線面垂直的定義和判定定理，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．