Question

13．在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C的方程為ρsin²θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C與直線l交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C的方程為ρsin²θ=4cosθ，即ρ²sin²θ=4ρcosθ．把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入上述方程即可化為直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，1）（t=0時(shí)），把直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程可得：t²+6$\sqrt{2}$t-6=0，利用|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的方程為ρsin²θ=4cosθ，即ρ²sin²θ=4ρcosθ．化為直角坐標(biāo)方程：y²=4x．
（Ⅱ）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，1）（t=0時(shí)），
把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入拋物線方程可得：t²+6$\sqrt{2}$t-6=0，
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=4$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程的方法、直線與拋物線相交問(wèn)題、直線參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．